In Deutschland ist der Begriff Portfolio im Bildungsbereich noch relativ neu. Für den Bereich der Mathematik liegen bisher kaum Arbeiten vor. Die Autorin zeigt praxisnah, wie Bruchvorstellungen durch die Dokumentation von Lernwegen in individuellen Portfolios entwickelt werden. Sie definiert ein Portfolio dabei als Sammlung von selbst erstellten Inhalten, an deren Auswahl der Urheber beteiligt ist und das reflexive Gedanken zur Auswahl der Einträge und zur Einschätzung ihrer Qualität enthält. Die Einführung des Bruchbegriffs zu Beginn der Sekundarstufe 1 ist ein abstraktes Thema, was an den vielen verschiedenen Aspekten des Bruchbegriffs liegt, die im täglichen Leben aber nur begrenzt eine Rolle spielen. Der neue Zahlbereich der gebrochenen Zahlen, der die natürlichen Zahlen mit einschließt, öffnet sich. Als zentrale Frage formuliert die Autorin: ‘Inwieweit eignet sich die Dokumentation von Lernwegen in einem Portfolio für die Entwicklung von Bruchvorstellungen?’ Um diese Frage zu beantworten, untersucht sie die Einhaltung folgender Kriterien: - Haben die Schülerinnen und Schüler einen Lernzuwachs? - Erkennen und verwenden die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Darstellungsformen für Brüche? - Können die Schülerinnen und Schüler selbständig ihr Portfolio führen und Verantwortung für ihr Lernen übernehmen? Inwieweit sind sie gewillt, sich auf die Unterrichtsinhalte und -methoden einzulassen, und welche Motivation haben sie? - Können die Schülerinnen und Schüler mit dem Portfolio individualisiert arbeiten? - Um ihren Lernzuwachs zu Bruchvorstellungen dauerhaft zu verankern, sollen sich die Schülerinnen und Schüler mit ihren Lernwegen auseinandersetzen. Dies führt zu folgender Frage: Wie reflektieren die Schüler ihre Arbeit? Dazu wird nach der Darlegung theoretischer Grundlagen zum Portfolio und zum Bruchbegriff die praktische Planung und Durchführung einer Unterrichtseinheit ‘Darstellen von Brüchen’ vorgestellt und ihre Ergebnisse werden anhand dieser Kriterien ausgewertet.

Textprobe: Kapitel 3, Lerntheoretische Grundlagen zur Entwicklung von Bruchvorstellungen: In diesem Kapitel möchte ich darstellen, in welcher Entwicklungsstufe die Schülerinnen und Schüler sich derzeit befinden und daraus Rückschlüsse auf die Planung meiner Unterrichtseinheit ziehen. Da es in der Portfolioarbeit um das Darstellen von Lernwegen geht, werde ich einige grundlegende Erkenntnisse über das Lernen zitieren und daraus Konsequenzen für die Unterrichtsgestaltung und gelingendes Lernen im Mathematikunterricht ableiten. Die Entwicklung von Bruchvorstellungen steht anschließend im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Zunächst lege ich meinen Standpunkt dar, warum Bruchvorstellungen in der Schule thematisiert werden sollten. Der Bruchbegriff umfasst mehrere Aspekte. Aus diesem Grund gehe ich auf verschiedene, zentrale Aspekte des Bruchbegriffs ein und begründe daraus, an welchen Aspekten ich besonders arbeiten möchte. Um Brüche darstellen und in ihren Aspekten verstehen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler zunächst einen Begriff von Brüchen haben. Daher stelle ich in diesem Kapitel die Einführung von Begriffen im Mathematikunterricht dar. 3.1, Entwicklungspsychologische Grundlagen: Laut dem Entwicklungspsychologen Jean Piaget verläuft die Entwicklung von Kindern in Stadien. Nach dem Durchlaufen des sensomotorischen und präoperationalen Stadiums befinden sich Schülerinnen und Schüler der 5. Klasse, die in der Regel zehn bis elf Jahre alt sind, überwiegend im konkretoperationalen Stadium. Kennzeichnend für dieses Stadium ist die Fähigkeit, ‘logische Operationen mit konkreten Dingen durchzuführen. Objekte oder interne Repräsentationen von Objekten können manipuliert werden dadurch wird Versuch und Irrtum unnötig. Schlussfolgerungen bestehen aus einer Reihe kleiner, reversibler Schritte, von denen jeder als vernünftig oder unvernünftig beurteilt werden kann. Das Kind braucht aber noch konkrete Darstellungen, mit denen es seine Denkabläufe verknüpfen kann.’ Daher ist mir das Handeln mit konkreten Darstellungen von Brüchen in der Unterrichtseinheit besonders wichtig. Die Schülerinnen und Schüler sollen Material erhalten, das sich zur konkreten Darstellung von Brüchen eignet. Damit hoffe ich, interne Repräsentationen von Brüchen anzubahnen. Auch der Psychologe Jerome Bruner legt ein Entwicklungsmodell vor. ‘Die Entwicklung erfolgt nach BRUNER in drei Stufen, wobei mit zunehmendem Alter und mit zunehmender Erfahrung das symbolische System die Vorherrschaft gewinnt, die anderen Systeme aber weiterhin verwendet werden: Enaktive Stufe (Das Kind begreift seine Umwelt über den handelnden Umgang mit ihr) Ikonische Stufe (Bildhafte Vorstellungen sind der Informationsträger das Kind ist Gefangener seiner Wahrnehmungen) und Symbolische Stufe (Symbolsysteme ersetzen das Handeln ohne Denken und das an die Wahrnehmung gebundene Verständnis Sprache, Logik und Mathematik spielen nun eine Rolle).’ Da alle drei Stufen zum Begreifen neuer Inhalte für die Schülerinnen und Schüler wichtig sind, werde ich in der Unterrichtseinheit darauf Wert legen, dass für jede der drei Stufen entsprechendes Material zur Verfügung steht. 3.2, Lernen, Lernwege und Motivation: Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Lernwege zum Bruchbegriff dokumentieren. Dies setzt voraus, dass sie überhaupt etwas lernen. Doch was ist eigentlich Lernen? ‘Lernen ist eine Art Informationsverarbeitung. (...) Insbesondere wenn zu erwerbende Inhalte in vorhandene Schemata eingeordnet werden können, wird der Wissenserwerb erleichtert.’ Für die Einführung des Bruchbegriffs bedeutet es, dass die Schülerinnen und Schüler Anknüpfungspunkte für den neuen Zahlbereich finden und darstellen sollen. Dafür eignet sich beispielsweise der schon aus dem Bereich der natürlichen Zahlen vertraute Zahlenstrahl. Dieser sollte also Teil der Unterrichtseinheit sein. Zur Organisation des Lernvorgangs schreibt der Entwicklungspsychologe Renkl: ‘Der Lernende soll zu aktiver Auseinandersetzung mit dem Lernstoff angeregt werden und dabei instruktionale Unterstützung erfahren. Diese Philosophie spiegelt sich beispielsweise im Begriff des gelenkten Entdeckens (‘guided discovery’) wieder [sic!] , mit dem im Rahmen der Diskussion zum entdeckenden Lernen einerseits die Bedeutung der Eigenaktivität der Lernenden, andererseits aber auch die Notwendigkeit der Unterstützung unterstrichen werden soll.’ Daraus folgere ich für die geplante Unterrichtseinheit, dass von mir zwar ein Rahmen vorgegeben wird, die Schülerinnen und Schüler selbst diesen aber füllen sollen. Sie erhalten Aufgaben, die so offen sind, dass sie selbst in aktive Auseinandersetzung mit dem Bruchbegriff treten müssen. Dabei erhalten sie Unterstützung in Form von Rückmeldungskommentaren und natürlich dem Zugang zu verschiedenem Material. Der Begriff ‘Lernwege’ wird unterschiedlich verwendet. Ich formuliere daher meine eigene Arbeitsdefinition: Lernwege sind die vollzogenen Denkprozesse und Handlungen, die zu einer neuen Kompetenz führen oder eine Kompetenz vertiefen. In der geplanten Unterrichtseinheit wird es darum gehen, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Lernwege dokumentieren. Das Ziel der Dokumentation von Lernwegen ist die Bewusstwerdung der Schülerinnen und Schüler über ihren Lernprozess. Dadurch möchte ich erreichen, dass sich das Erlernte an schon vorhandenes Wissen und bereits bestehende Strukturen im Gehirn anschließt, damit Gelerntes besser gespeichert werden kann. Feuser schreibt dazu: ‘Durch die Reflexion des Lernprozesses - ergänzt durch Gespräche mit der Lehrkraft und den Mitschülerinnen und Mitschülern - wird das neu erworbene Wissen strukturiert und in bestehendes Wissen integriert.’ Daher wird mit der Dokumentation des Lernweges, die im Portfolio erfolgen soll, das neu erworbene Wissen über Brüche strukturiert und an vorhandenes Wissen angeknüpft. Aus einmal gegangenen Lernwegen sollen schließlich erneut abrufbare Denkprozesse und Handlungen werden, die so durchdacht sind, dass sie wiederholt werden können oder auf ähnliche Probleme übertragen werden können (Transfer). Zur Motivation, etwas neues zu lernen, schreibt Bruner: ‘Idealerweise ist das Interesse für die zu lernenden Inhalte der beste Impuls für das Lernen, besser als externale Ziele wie Noten oder späterer Wettbewerbsvorteil.’ ‘Motive für das Lernen müssen (...) so weit wie möglich im Erwecken von Interesse für die Lerninhalte begründet sein, und sie müssen breit und unterschiedlich im Ausdruck sein.’ Daher werde ich zu Beginn der Unterrichtseinheit deutlich machen, wie wichtig der Umgang mit gebrochenen Zahlen ist, da damit z.B. Divisionen wie 10 : 4 möglich werden oder wir angeben können, welcher Anteil Kirschsaft im Kirsch-Banane-Saft enthalten ist. Um Interesse für die Lerninhalte zu wecken finde ich es wichtig, in der Erarbeitung des Bruchbegriffs die Kinder selbstbestimmt lernen zu lassen. Ich verstehe darunter, dass sie in ihrem Portfolio eigene Lernwege finden und Lern- und Problemlösungsstrategien ausprobieren. Folgende Forderungen an gelingendes Lernen leite ich also zusammengefasst aus den Erkenntnissen der Lernpsychologie ab: Anknüpfungspunkte aus bereits bekannten Inhalten sind zu nutzen Lernwege sind zu dokumentieren, um Denkprozesse und Handlungen nachvollziehen, wiederholen und transferieren zu können die Schülerinnen und Schüler sollen sich mit dem Lehrstoff aktiv auseinandersetzen, sie bekommen Anleitung statt bloßer Unterweisung Inhalte und Ziele werden transparent und nachvollziehbar dargestellt, um die Motivation zu wecken.

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Sabine Storm, geboren 1979 im Sauerland, war nach ihrem Lehramtsstudium an der Universität Flensburg einige Jahre als Redakteurin für Mathematik in einem Schulbuchverlag tätig. Sie lebt in Berlin und arbeitet als Grundschullehrerin und freie Autorin.