Und merk dir ein für allemal den wichtigsten von allen Sprüchen: Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl, allein ein großes in den Brüchen. (Johann Wolfgang von Goethe). Der Übergang vom Rechnen mit natürlichen Zahlen zur Bruchrechnung bereitet einer beachtlichen Anzahl von Schülern Schwierigkeiten. Nicht ohne Grund: Im neuen Zahlbereich müssen plötzlich die alten, bisher stets bewährten Grundvorstellungen zu Zahlen und den Grundrechenarten verändert oder sogar gänzlich verworfen werden. Dafür kommen viele neue zum Tragen, die in der Schule zunächst sorgfältig aufgebaut werden müssen, um die Schüler vor einem unverstandenen, sinnentleerten Ausführen der formalen Bruchrechenalgorithmen zu bewahren. Doch welche Vorstellungen von der Bruchrechnung besitzen Schüler tatsächlich nach einer systematischen Behandlung im Unterricht? Die in diesem Buch beschriebene empirische Studie geht dieser Frage exemplarisch nach. Sie basiert auf einem Briefwechsel mit drei Siebtklässlern, in dem die Autorin ausgewählte Aufgaben zum Verständnis von Bruchzahlen und deren Multiplikation als Beispiel für eine der vier Grundrechenoperationen stellt. Eine detaillierte Analyse der Antwortbriefe der Schüler bildet die Grundlage für die Auswertungsergebnisse, die ein Gesamtbild jedes Schülers im Hinblick auf seine individuellen Vorstellungen von der Bruchrechnung zutage fördern. Mithilfe dieser Untersuchung werden die Schwierigkeiten einzelner Schüler bezüglich des Verständnisses und Umgangs mit rationalen Zahlen sowie mögliche Ursachen hierfür aufgedeckt, die in der Hektik des Schulalltags vermutlich oft nicht genau erkannt werden können.

Textprobe: Kapitel 3.4.3, Einzelfallanalyse Mia: Die erste Aufgabe des ersten Briefs löst Mia ohne Schwierigkeiten und trifft mit ihrem Satz ‘Der Witz ist: Wenn man die Pizz [sic] in acht oder in vier Stücke teilt bleibt die Pizza gleich groß.’ in knapper Weise die Kernaussage des Comics. Sie verwendet bei ihrer Lösung keine mathematischen Ausdrücke oder Symbole (was aber auch nicht verlangt war), sondern bleibt auf der Sachebene. Den ersten Teil der zweiten Aufgabe versteht sie nicht als Frage nach einer formalen Definition. Stattdessen versucht sie, anschaulich und unter der Verwendung von Grundvorstellungen zu erklären, was ein Bruch aussagt. Sie schreibt: ‘Ein bruch [sic] sagt aus wie viel Stück es sind oder kg, ml, L… wenn z. B. 1000ml sind drin aber man braucht aber nur 250ml ist das ein Viertel ml’. In diesem Satz ist eine klare Anteilsvorstellung von Bruchzahlen erkennbar. Mit dem Ausdruck ‘wie viel Stück es sind’ meint sie evtl. die Anzahl von Bruchteilen eines Ganzen und benutzt damit die Vorstellung des Bruchs als Teil eines Ganzen. Das Wort ‘Stück’ verwendet sie hierbei vermutlich in Assoziation mit Pizza- oder Tortenstücken, die in der Regel im Unterricht zur Veranschaulichung von Bruchteilen eingesetzt werden. Besonders dominant in ihrer Lösung ist der Maßzahlaspekt, der durch die aufgeführten Einheiten kg und ml bzw. l deutlich wird. Da sie evtl. merkt, dass die Erklärung ‘Ein bruch [sic] sagt aus wie viel […] kg, ml, L…’ es sind nicht zur Abgrenzung eines Bruchs von einer natürlichen Zahl ausreicht, fügt sie ein Alltagsbeispiel mit konkreten Zahlen an. Auffällig ist ihr Fehler bei der Umwandlung von 250ml in einen Bruch: Statt ein Viertel (von 1000ml) oder ein Viertel l schreibt sie ein Viertel ml. Entweder ist ihr lediglich ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen oder sie hat die Gleichheit von 250 und ein Viertel in diesem Kontext soweit verinnerlicht, dass sie die Einheit ml unreflektiert übernimmt. Vielleicht hat sie sich auch an den 1000ml orientiert und hätte die richtige Einheit gewählt, wenn sie 1000ml durch 1l ersetzt hätte. Im zweiten Teil der zweiten Aufgabe verwendet sie zwei der gängigsten bildlichen Darstellungen zweidimensionaler geometrischer Ganzer zur Darstellung von ein Viertel einen Kreis und ein Quadrat, die beide in vier kongruente Teile geteilt wurden und von denen jeweils ein Teil ausgemalt ist. Als weitere Darstellung für ein Viertel benutzt sie das Alltagsbeispiel aus der vorherigen Teilaufgabe. Diesmal schreibt sie jedoch korrekterweise, dass 250ml ‘ein Viertel von den 1000 ml’ sind und benutzt damit die Operatorvorstellung bzw. den Bruchzahlaspekt ‘Teil mehrerer Ganzer’. Zu Beginn der dritten Aufgabe betrachtet Mia nicht nur die Ergebnisse, sondern bereits die falschen Rechenwege, was ihr Satz ‘Sie [die Ergebnisse] können nicht stimmen weil, sie es nicht durch 6 geteilt haben hatte [sic] sie es geteilt wären es 400€ das was der Lehrer spändet [sic].’ zeigt. Beim Erstellen der Aufgabe wäre es deshalb vermutlich geschickter gewesen, die Ergebnisse erst getrennt von den Lösungswegen aufzuführen. In Mias nachfolgender Lösung der ‘Herr Brinkmeier’-Aufgabe teilt sie die 2400€ zu recht durch 6, zu der sie anscheinend nachträglich den Nenner 1 ergänzt (evtl. um ihre Rechnung dem Thema Bruchrechnung anzupassen ohne dabei mit Brüchen zu operieren), und erhält 400€, die sie zuletzt unvollständiger Weise mit ein Sechstel gleichsetzt. Letzteres erläutert sie in der wörtlichen Beschreibung ihrer Rechnung mit ‘das ist dann ein Sechstel von den [sic] Geld’. Die mathematische Übersetzung von ‘von den [sic] Geld’ vernachlässigt sie in ihrer Rechnung, was man entweder so deuten kann, dass sie dies einfach für überflüssig und ‘ein Sechstel‘ für aussagekräftig genug befindet oder dass sie die Übersetzung aufgrund von Unsicherheiten bzgl. des passenden Rechensymbols für das Wort ‘von’ vermeidet. Über diese Unklarheiten geben Mias nächste Briefe Aufschluss. In Mias Analysen der beiden Rechenwege wird klar, dass sie keine Vermutung zu den Hintergründen der falschen Denkstrategie der beiden Schüler hat. Sie gibt an, dass sie Benjamins Lösung nicht versteht. Zu Annas Lösung schreibt sie ‘Anna: hat gedacht, das [sic] man das mal 6 rechnen muss und sie muss eigentlich geteilt rechnen.’ Damit übergeht Mia jedoch den ersten Schritt in Annas Rechnung, in dem durch ein Sechstel geteilt wurde. Stattdessen erkennt sie erst in Annas zweitem Schritt den Fehler, nämlich, dass eine Multiplikation mit 6 in jedem Fall falsch ist, was bedeutet, dass sie die Division durch ein Sechstel scheinbar nicht sofort als Fehler identifizieren kann. Beim Vergleich der beiden ‘Herr Brinkmeier’-Aufgaben schlussfolgert Mia sinnvoll: ‘Sie konnten es wohl richtig rechen [sic] weil, kein Bruch vorkommt. Es kamm [sic] sofort die Zahl vor durch sie rechnen mussten.’ Mias eigene Lösung der ‘Herr Brinkmeier’-Aufgabe, ihre Erläuterungen zu Annas Rechenweg und der zuletzt genannte Vergleich lassen vermuten, dass Mia das Rechnen mit Brüchen als schwierig empfindet und gerne auf ein Rechnen mit natürlichen Zahlen ausweicht, da sie evtl. mit den Rechenoperationen in diesem Bereich vertrauter ist. Da das geringe Material diesen Verdacht jedoch noch nicht gut genug stützt, werden die Auswertungen der nächsten Briefe mit der dieses Briefs abgeglichen.

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Jessica Pilchner wurde 1986 in Bielefeld geboren. Im Jahr 2009 beendete die Autorin ihr Bachelorstudium an der Universität Bielefeld im Kernfach Mathematik, Profil Didaktik erfolgreich mit dem akademischen Grad des Bachelor of Science und schloss ihr Masterstudium in Erziehungswissenschaft an, um 2010 ihren Master of Education zu absolvieren und an den Schulformen GHR zu unterrichten. Bereits während ihres Studiums sammelte die Autorin diverse praktische Erfahrungen an Schulen, insbesondere im Bereich der Mathematikdidaktik, wie beispielsweise bei der selbstständigen Förderung eines rechenschwachen Schülers. Darüber hinaus arbeitete sie mehrfach als Tutorin an der Universität Bielefeld in mathematischen und mathematikdidaktischen Veranstaltungen sowie als Nachhilfelehrerin im Fach Mathematik. Das Interesse der Autorin an Schülervorstellungen zur Bruchrechnung wurde während ihres Mathematikstudiums geweckt. Da das Verständnis von Bruchzahlen und Bruchrechenoperationen vielen Schülern besondere Schwierigkeiten bereitet, sah sie mithilfe der von ihr durchgeführten Studie die Möglichkeit, sich intensiv mit unterschiedlichen Denkweisen einzelner Schüler innerhalb dieses Themengebiets auseinanderzusetzen und ihr eigenes Verständnis für diese zu erweitern, um die Hintergründe eventueller Missverständnisse und Fehlvorstellungen aufzuklären und sich die gewonnenen Erkenntnisse im eigenen Mathematikunterricht zunutze zu machen.