Die Europäische Bankenaufsicht führte im Oktober 2014 zum ersten Mal einen umfassenden Stresstest aller systemrelevanten Banken durch. Im modernen Risikomanagement spielt die Verwendung von Stresstests eine immer wichtigere Rolle und löst damit zunehmend den Value at Risk ab. Unter den Basel III-Regularien wurde der sogenannte stressed Value at Risk eingeführt um auch hier eine Verbesserung des Value at Risk durch die nützlichen Eigenschaften von Stresstests zu implementieren. In diesem Buch untersucht der Autor die Extremwertstatistik eines stochastischen Prozesses mit den neusten Methoden aus der Statistischen Physik und Numerik. Neben einer Definition der Stress-Szenarien für beliebige Risikofaktoren lassen sich die Ergebnisse auch zur Berechnung von Barrier Optionen und hochkomplexen pfadabhängigen Derivaten nutzen.

Textprobe: Kapitel, Einleitung: Die Europäische Bankenaufsicht führte im Oktober 2014 zum ersten Mal einen umfassenden Stresstest aller systemrelevanter Banken durch. Die Ergebnisse anschaulicher Stressszenarien stellen dabei eine wichtige Kenngröße dar. Zur Kalibrierung dieser Stresstests, also zur Höhe des gestressten Risikofaktors, wird in der Regel mit historischen Szenarien gearbeitet. Hier stellt sich allerdings die Frage nach dem Zeithorizont. Skalierte hypothetische Szenarien erscheinen hier zunächst einer Willkür zu unterliegen. Allerdings kann mit Realdaten kalibriert werden – mathematisch ist also zwischen einem stochastischen Wert x, welcher historisch gemessen werden kann, und einem Stochastischem Prozess x(t), also dem stochastischen Wert im Zeitverlauf, zu unterscheiden. Zur Kennzeichnung stochastischer Prozesse x(t) fallen einem zuerst einmal Größen wie Mittelwert {x}(t), Varianz ? = {(x - {x})2} (t), Schiefe {(x - {x})3}/?3 oder Exzess [{(x - {x})4} - 3(x - {x})2}2]/?4 ein. Anders gesagt, man denkt an die Verteilung p(x, t) und ihre Momente. Es gibt aber andere Klassen von Observablen, die nicht durch die Eigenschaften des Prozesses zu einem festen Zeitpunkt gegeben sind, sondern beispielsweise vom Verhalten der Realisierung x(t) in einem ganzen Zeitintervall [0, T] abhängen. Hierzu gehören Größen wie die mittlere erste Passagezeit von einem Wert x0 zu einem anderen Wert x1 oder die Frage nach dem Maximalwert xm, den x(t) in [0, T] einnimmt. Die Frage nach dem Maximalwert führt zunächst zu Überlegungen aus der klassischen Extremwertstatistik, welche im Kapitel 1.1. dieser Arbeit behandelt wird. In der kondensierten Materie sind die Eigenschaften der Extremwertverteilung in den letzten Jahren, z.B. im Zusammenhang mit universellen Eigenschaften von Oberflächenwachstum, bedeutsam geworden, oder auch bezüglich des Tieftemperaturverhaltens von ungeordneten Systemen wie dem random energy Modell. Kapitel 1.2. gibt einen Überblick über Lévy-Verteilungen oder so genannte stabile Verteilungen. Diese tauchen in einer Vielzahl von physikalischen Experimenten oder Beobachtungen auf. Von der theoretischen Mechanik z.B. bei Teilchen, die aus einer Punktquelle emittiert werden (? = 1 Cauchyverteilung) bis hin zur theoretischen Astrophysik, wo gleichverteilte Sterne ein Gravitationsfeld erzeugen, das der so genannten Holtsmark-Verteilung (? = 1.5) genügt. Wenn x(t) den Preisprozess eines Finanzinstruments darstellt, so ist das erwartete Extremwertverhalten dieses Prozesses Grundlage für die Konstruktion komplexer, pfadabhängiger Finanzderivate und wichtig für die Risikoabschätzung von Portfolios oder Krediten. Hier wird üblicherweise mit gaußschen Prozessen gerechnet. Kapitel 1.3 beschäftigt sich mit der Frage wie Maxima oder Schwellen bei einem gaußschen Prozess zu berechnen sind. Die Brownsche Bewegung stellt dabei das Paradebeispiel dar, welches auch unter Wirtschaftswissenschaftlern bei der Bewertung von Derivaten keine Unbekannte darstellt. Intensive Analysen der letzten zehn Jahre aus dem Bereich der Econophysics haben allerdings gezeigt, dass die Verteilung der Inkremente des Preisprozesses p(?x(t)) gegenüber einer Gaußverteilung stark verbreitert ist und z.B. durch eine abgeschnittene Lévy-Verteilung beschrieben werden kann. In dieser Arbeit wird mit Blick auf die Anwendungen in der Econophysics mittels Computersimulation der allgemeinen Frage nachgegangen, welche Eigenschaften der stochastische Prozess auf einem endlichen Zeitintervall für die Brownsche Bewegung, einen Lévy-flight oder einen truncated Lévy-flight hat. Nachdem in Kapitel 1 die mathematischen Grundlagen besprochen werden, enthält Kapitel 2 eine Beschreibung und Verifikation der numerischen Methoden. Kapitel 3 ist eine Zusammenfassung oder Grundlagenaufarbeitung aus der Econophysics. Es wird der Begriff Derivat erläutert, sowie ein kleiner Überblick über die Empirie von Preisfluktuationen gegeben und verschiedene Modellierungsmöglichkeiten aufgezeigt. Kapitel 4 stellt dann exemplarisch Ergebnisse der Simulationen dar, die sich für die verschiedenen stabilen Prozesse ergeben. 1, Klassische Extremwertstatistik und Extrema von random walks: 1.1, Die klassischen Extremwertverteilungen: Dieser Abschnitt behandelt die klassische Extremwertstatistik der Mathematik. Es gibt folgende grundlegende Bedingung in der Extremwerttheorie: man beschäftigt sich mit Zufallsvariablen, deren Verteilungen als gleich angenommen werden. Die Parameter der Verteilungen sollten von Zufallszahl zu Zufallszahl konstant bleiben oder zumindest sollten die auftretenden Veränderungen bestimmt und eliminiert werden können. Zur Auswertung von Experimenten ist eine weitere Bedingung notwendig. Die beobachteten Extremwerte sollten aus dem selben Satz unabhängiger Daten stammen. Dies ist allerdings nicht zu stringent zu sehen: In Hochwasseruntersuchungen z.B. kann ein Hochwasser als Maximum des Wasserpegels innerhalb von 365 Tagen definiert sein. Diese sind sicherlich nicht unabhängig, da natürlich eine enge Korrelation des Wetters aufeinander folgender Tage besteht. Dennoch können 100 oder 200 Tage eines Jahres genommen werden, die unabhängig seien sollten und trotzdem einen ausreichend großen Satz an Daten bieten, um die Theorie anzuwenden. Doch was macht die Extremwertstatistik so interessant? Fast alle möglichen Verteilungen für Zufallsvariablen führen auf nur eine parameterabhängige Funktion, die so genannte 'von Mises Repräsentation' für die drei möglichen Extremwertverteilungen: Es seien also X1, X2, ... unabhängig und identisch verteilte (engl. independent and identically distributed, kurz i.i.d.) Zufallsvariablen mit kumulativer Verteilungsfunktion F. Im folgenden interessieren wir uns für die Verteilung der Zufallsvariable Mn = max(X1, ...,Xn), n ? N. n bezeichnet man als Samplegröße. Die Verteilung von Mn ist dann P(Mn = x) = P(X1 = x, ...,Xn = x) = n?i=1 P(Xi = x) = Fn(x). In praktischen Anwendungen ist die Verteilung F meist nicht bekannt, und somit die exakte Verteilung des Maximums Mn nicht explizit zu bestimmen. Es ist daher naheliegend, das asymptotische Verhalten von Mn zu untersuchen. Da extreme Beobachtungen am rechten oberen Rand der Verteilung auftreten ist intuitiv klar, dass das Maximum gegen den rechten oberen Eckpunkt der Verteilung strebt, der im folgenden xF = sup(x ? R : F(x) < 1) genannt wird. Dabei wird für den oberen Endpunkt sowohl xF < 8 als auch xF = 8 zugelassen. Zunächst sieht man im Fall xF = 8, dass (für n -> 8) Fn(x) -> 0 für jede reelle Zahl x gilt und somit P(Mn < x) keine Verteilungsfunktion mehr darstellt. Im Fall eines endlichen oberen Endpunktes erhält man analog Fn(x) -> 0 falls x < xF und Fn(x) = 1 für x = xF , so dass das Maximum Mn stochastisch gegen den oberen Endpunkt xF konvergiert. In diesem Fall erhält man also eine zu einem Punkt entartete Verteilung als Grenzverteilung des Maximums. Eine Vorgehensweise, die aussagekräftige Ergebnisse liefert, besteht darin, das Maximum geeignet zu zentrieren und zu normieren. Analog zum Zentralen Grenzwertsatz wird auf die interessierende Zufallsvariable die Transformation (Mn-bn / an) angewendet und untersucht, ob sich dafür stetige asymptotische Verteilungen angeben lassen. Das folgende Theorem, das als zentrales Ergebnis der klassischen Extremwerttheorie angesehen werden kann, gibt eine Antwort: Dabei sind zwei Verteilungen F und F* vom gleichen Typ, falls die Beziehung F*(ax + b) = F(x) für alle x, b und a > 0 gilt. Theorem 1: Es seien X1, ...,Xn unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen und Mn = max(X1, ...,Xn). Existieren Folgen von Konstanten an > 0 und bn derart, dass für eine nicht-entartete Verteilung H P(Mn-bn / an = x) -> H(x), (n -> 8) gilt, dann ist H vom Typ einer der folgenden kumulativen Verteilungen: Gumbel G0(x) = exp(-exp(-x)), -8 < x < 8. Fréchet G1(x) = exp(-x-?), x > 0 sonst G1(x) = 0, ? > 0. Weibull G2(x) = exp(-(-x)?), x = 0 sonst G2(x) = 1, ? < 0. Wahrscheinlichkeitsdichten der drei Extremwertverteilungen: Gumbel g0(x) = exp(-e-x) exp(-x). Fréchet g1(x) = ? exp(-x?)x-(1+?). Weibull g2(x) = |?| exp(-(-x)-?)(-x)-(1+?). Alle drei Extremwertverteilungen lassen sich durch die von Mises Funktion zusammenfassen: g?(x) = exp(-(1 + ?x)-1/?)(1 + ?x)-1+ 1/?. Gumbel: ? -> 0. Fréchet: ? > 0. Weibull: ? < 0. Minima: Im allgemeinen können die Minima direkt aus den Resultaten der Maxima hergeleitet werden. mini=n Xi = -maxi=n (-Xi) Vollständigkeitshalber sei hier erwähnt, dass es im Zusammenhang mit Minima sinnvoll ist 'survivor functions' einzuführen: definiere F = 1 - F. P(mini=m Xi > x) = (1 - F(x))m = Fm(x) oder P(mini=m Xi = x) = 1 - (1 - F(x))m. Daraus lässt sich dann der so genannte 'T-year level u(T)' herleiten. u(T) ist dabei eine Grenze, die überschritten wird. P(X1 > u(T)) = 1 - F(u(T)) = 1/T. Ein Jahrhunderthochwasser z.B. ist die Höhe u(T), die bei einer Beobachtung von 100 Jahren einmal auftritt.

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Thomas Schwiertz ist Physiker und Risk Officer bei der Deutschen Börse. Seit April 2013 ist er in dieser Funktion für die Handelsunterstützung im OTC-Umfeld und im Default Management der Eurex Clearing AG für die Liquidationsgruppe Fixed Income zuständig. Nachdem der Autor als freier Berater für verschiedene Unternehmen und Projekte tätig war, gründete er im Jahr 2012 seine Beratungsfirma CVA Services.