Dieses Buch behandelt die mathematische Bewertung von synthetischen Collateralized Debt Obligations. Neben einer betriebswirtschaftlichen Einführung dieser Finanzinstrumente und der Bereitstellung stochastischer Grundlagen liegt der Fokus hierbei auf dem von Oldrich Vasicek eingeführtem Faktor-Copula-Modell. Ziel dieser Arbeit ist es, dieses genauer zu behandeln und zu beleuchten. Hierzu sollen die Funktionsweisen verständlich gemacht und aktuelle Variationen vorgestellt werden. Zusätzlich sollen zwei neue Erweiterungen zu diesem Modell entwickelt und mit den bekannten Anwendungen verglichen werden.?Da die qualitative Bewertung solcher Modelle nur anhand von real existierenden Daten erfolgen kann, werden im Rahmen dieser Untersuchung zu allen behandelten Verfahren realitätsnahe Berechnungen durchgeführt und die Ergebnisse mit aktuellen Marktwerten aus den Jahren 2011 und 2013 verglichen. Neben dem Fazit wird diese Arbeit mit einem Ausblick auf aktuelle Weiterentwicklungen und Perspektiven zu diesem Bereich abgeschlossen.

Textprobe: Kapitel 4.4, Modellvergleich Die Qualität eines Modells, wie das Faktor-Copula-Modell, hängt im hohen Maße von real existierenden Marktdaten ab. Ziel muss es sein, die Preise von synthetischen CDOs, die der Markt vorgibt, möglichst genau zu approximieren. Daher können die drei vorgestellten Variationen nur durch den Vergleich mit tatsächlichen Marktpreisen bewertet werden. Zu diesem Zweck wird der aus Abschnitt 2.4 bekannte iTraxx Europe herangezogen, da hierzu eine große Anzahl von Informationen frei zugänglich ist, was den Vergleich wesentlich erleichtert. Durch die Verlustverteilungsfunktionen F1(x, t) der vorgestellten drei Modelle kann der jeweilige erwartete Verlust EL(K1,K2)(t) und ELR(K1,K2)(t) über dem risikoneutralem Martingalmaß für die einzelnen Tranchen bestimmt werden. Nach Satz 3.5.1 gilt dann:… Hierdurch lassen sich gemäß Abschnitt 3.6 nun das Protection Leg ProL, das Premium Leg PreL und somit auch der faire Spread s? und die Upfront Zahlung up bestimmen:... Für den Vergleich wird konkret der iTraxx Europe der Serie 15 mit 5 Jahren Laufzeit herangezogen, welcher am 20. März 2011 aufgelegt wurde und am 20. Juni 2016 ausläuft. Dieser Index besteht aus 125 Referenz-CDS und besitzt eine konstante Verwertungsrate von R = 0, 4. Die Spreads oder Prämienzahlungen erfolgen vierteljährlich zu insgesamt 20 Terminen. (Vgl. MARKIT 2014) Betrachtet werden die Marktwerte jeweils am 30. September 2011 und am 28. März 2013. Diese Werte sind jeweils in Upfront-Zahlungen angegeben. Die zugehörigen fixen Spreads betragen 500 bps für die ersten beiden Tranchen, 300 bps für die mittlere Tranche und 100 bps für die letzten beiden Tranchen. Der Grundzins wird für alle Berechnungen auf 3 Prozent festgesetzt. Die genaue Zusammensetzung des iTraxx Europe Serie 15 ist in Anhang [A]aufgelistet. Verglichen werden Marktdaten vom 30. September 2011 und vom 28.März 2013. Dies bedeutet gemäß der Index-Struktur eine verbleibende Anzahl von Prämienzahlungen von n = 13 für das erste und n = 19 für das zweite Datum. Da diese Zahlungen vierteljährlich stattfinden wird# = 0.25 gewählt. Um die Ausfallwahrscheinlichkeit zu modellieren, wird das konstante Intensitätsmodell aus Abschnitt 3.4 herangezogen, so dass gilt: Q(t) = (? ? t) = 1-exp(-! • t). Aus dem durchschnittlichen CDS Spread von 196, 56 bps am 30. September 2011 und 127, 36 bps am 28. März 2013 (Vgl. Anhang[B]) folgt hierbei gemäß [HULL 2012a], S. 651 die Ausfallintensität! 11 = 0.03259 für das erste und !13 = 0.02123 für das zweite genannte Vergleichsdatum. Somit sind alle benötigten Parameter zur Anwendung der jeweiligen 1-Faktor-Copula-Modelle bekannt. Für alle drei Fälle wird a so gewählt, dass die errechnete Upfront-Zahlung mit der des Marktes übereinstimmt. Bei dem Student-t-Modell und dem NIG-Modell wird der Freiheitsgrad bzw. weiterhin so gewählt, dass die Gesamtabweichung von den Upfront-Zahlungen des 54 Marktes möglich gering ist. Für das NIG-Modell wird zusätzlich, = 0 gesetzt, da die Praxis hier gezeigt hat, dass dieser Parameter nicht wesentlich zur Genauigkeit des Modells beiträgt. (Vgl. [KALEMANOVA ET AL. 2005], S. 11) Alle Simulationen und Berechnungen wurden hierbei mit der Software Matlab durchgeführt. (Vgl. Anhang [C],[D] und [E]) Die hieraus resultierenden Ergebnisse sind jeweils Tabelle 2 und Tabelle 3 aufgeführt, wobei der Wert in Klammern in der Spalte der Student-t-Verteilung jeweils deren Freiheitsgrad angibt. Den Erwartungen entsprechend schneidet das 1-Faktor-Copula-Modell basierend auf der Standardnormalverteilung am schlechtesten ab. Dies ist mit der fehlenden Heavy-Tail-Eigenschaft und dem fehlenden frei wählbaren Parameter zu begründen. Die beiden anderen Verteilungen liefern daher wesentliche genauere Ergebnisse. Die Tatsache, dass die NIG-Verteilung bessere Resultate liefert, basiert auf der Möglichkeit der genauen Justierung von ?, während der Freiheitsgrad der Student-t-Verteilung nur durch natürliche Zahlen gewählt werden kann. Weiterhin hat die Student-t-Verteilung den Nachteil, dass sie nicht faltbar ist, was zu deutlich höheren Rechenzeiten bei den Ausfallgrenzen C(t) führt. (Vgl. [KALEMANOVA ET AL. 2005], S. 11). Das Hauptproblem bei der Justierung der Modelle wird durch das sog. ”Correlation Smile (engl.: Korrelations-Lächeln) beschrieben. Dieses Phänomen beschreibt die Beobachtung, dass der Korrelationsparameter deutlich höher ist, wenn die Ergebnisse an die erste Tranche des Marktes angepasst werden, als wenn dies mit der zweiten Tranche geschieht. Für alle weiteren Tranchen steigt der Wert des Korrelationskoeffizienten dann wieder. Wird der Korrelationsparameter in Abhängigkeit zu der Tranche, an welche er angeglichen wurde dargestellt, nimmt der resultierende Graph die Form eines Lächelns an. (Vgl. Abbildung 10) Hieraus resultiert der Name ”Correlation Smile .

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