In dieser Studie wurde untersucht, wie das Bootstrapping bei der Prognoseberechnung mit Hilfe von GARCH- und ARMA-GARCH-Modellen eingesetzt werden kann. Das Augenmerk der Studie gilt der Anwendung der (G)ARCH-Modelle zur Vorhersage der Renditen der auf den Finanzmärkten notierten Vermögenswerte. Die Untersuchung ist wie folgt aufgebaut: Der Einleitung, in der die Motivation der Anwendung und die praktische Relevanz des oben genannten Ansatzes bei der Prognoseerstellung dargestellt werden, folgt das Kapitel 2, wo einige theoretische Grundlagen der Zeitreihenmodellierung dargestellt werden. In Kapitel 3 werden zunächst einige empirische Merkmale der Renditezeitreihen beschrieben. Anschließend werden die Eigenschaften der Grundmodelle der (G)ARCH-Familie erläutert und gezeigt, dass diese Eigenschaften (G)ARCH-Modelle weitgehend zur Abbildung von Renditezeitreihen geeignet machen. Es wird auch auf die Erstellung der Prognosen in (G)ARCH-Modellen eingegangen und auf die Problematik der unbekannten Verteilung der prognostizierten Werte hingewiesen. In Kapitel 4 wird das Bootstrap-Verfahren dargestellt. Die wichtigste Voraussetzung für die Daten, auf welche dieses Verfahrens angewendet wird, ist, dass sie unabhängig und identisch verteilt sein sollen. Allerdings lässt sich das Verfahren durch bestimmte Modifikationen und Erweiterungen auch auf die Daten anwenden, welche nicht unabhängig sind wie z. B. die Zeitreihen. Die für das Thema dieser Untersuchung relevante Erweiterung des Bootstrap-Verfahrens ist der modellbasierte Bootstrap. Dabei wird ein Modell, das unabhängig und identisch verteilte Residuen generiert, an eine Zeitreihe angepasst. Die Residuen werden dann simuliert und wieder in das Modell eingesetzt. In (G)ARCH-Modellen sind die Größen nt unabhängig und identisch verteilt, d. h. auf sie kann das Bootstrap-Verfahren angewendet werden. In Kapitel 5 wird die Vorgehensweise bei der Berechung der Prognosen in GARCH- und ARMA-GARCH-Modellen in Kombination mit Bootstrapping beschrieben. Das Verfahren erlaubt 1) Verteilungsprognosen zu berechnen, 2) die Genauigkeit eines Prognosewertes durch die Bildung von Intervallen einzuschätzen und 3) kann auch zur Verzerrungs-Korrektur der prognostizierten Werte unter Annahme einer Normalverteilung eingesetzt werden.

Textprobe: Kapitel 3, Modellierung von Renditezeitreihen mittels (G)ARCH-Modellen: In diesem Kapitel werden die Besonderheiten von Renditezeitreihen erläutert und es wird die Eignung von (G)ARCH-Modellen zur Abbildung dieser Besonderheiten aufgezeigt. Es wird auch auf die Parameterschätzung in diesen Modellen eingegangen, und im Anschluss wird der Einsatz von (G)ARCH-Modellen zur Prognoseerstellung diskutiert. Charakteristika von Renditezeitreihen: Zuerst soll der Begriff Rendite erläutert werden. Renditen können als diskrete oder stetige Renditen definiert werden. Die diskrete Rendite Rt zwischen den Zeitpunkten t - 1 und t wird folgendermaßen berechnet: (siehe Formel 3.1). In den meisten Untersuchungen werden jedoch stetige Renditen angewendet, da sie einige gewünschte Eigenschaften besitzen. Bei der stetigen Rendite rt wird angenommen, dass die absolute Preisänderung aus einer Folge n gegen unendlich laufender Preisänderungen resultiere. Die stetige Rendite wird definiert durch (siehe Formel 3.2) und lässt sich als Differenz der logarithmierten Preise darstellen. Wenn Finanzzeitreihen von hoher Frequenz, wie z. B. Tagesdaten, betrachtet werden, bei welchen die beobachteten Preisänderungen gering sind (Renditen unter 10%), macht es keinen großen Unterschied, ob einfache oder Log-Renditen untersucht werden. Nachdem nun die Renditen definiert wurden, werden nachfolgend die empirischen Merkmale von Renditezeitreihen dargestellt. Im Laufe der Zeit sind die Forscher auf Merkmale der Renditezeitreihen gestoßen, die mittlerweile allgemein anerkannt sind, aber nur zum Teil erklärt werden können. Die meisten dieser Phänomene sind für die unterschiedlichsten Märkte charakteristisch: Für die Aktien- und Anleihemärkte ebenso wie für die Rohstoff- oder Währungsmärkte. Merkmal 1: Positive Stichprobenautokorrelationen der Quadrate und Absolutbeträge der Renditen Die Renditen scheinen meist einem White-Noise-Prozess zu folgen, da die Stichprobenautokorrelationen sich nicht signifikant von Null unterscheiden. Allerdings weisen die absoluten Preisänderungen und die quadrierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf. Es handelt sich somit bei den Renditezeitreihen nicht um einen strengen White-Noise-Prozess. Merkmal 2: Volatilitäts-Clustering. Aus der positiven Autokorrelation folgt auch, dass nach großen Preisänderungen (positiv oder negativ) tendenziell wieder große Preisänderungen folgen und umgekehrt. Dieses Phänomen wird auch Volatilitäts-Clustering genannt. Aufgrund der Korrelation zwischen der heutigen und der zukünftigen Volatilität lässt sich die Volatilität in einem gewissen Maße vorhersagen. Merkmal 3: Leptokurtische Verteilung. Bei den Finanzzeitreihen wird häufig beobachtet, dass sich einerseits die Mehrzahl der Renditerealisationen um ihren Erwartungswert konzentriert, andererseits aber richtungsunabhängige Extreme mit einer höheren Wahrscheinlichkeit auftreten, als dies unter Normalverteilung erwartet würde. Eine Identifikation dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis, die für eine Normalverteilung den Wert Drei annimmt und für leptokurtische Verteilungen größer Drei oder unendlich ist. Empirische Renditen weisen meist deutlich höhere Werte als Drei auf. Merkmal 4: Leverage-Effekt (Asymmetrie). Dieser Effekt kann meist bei den Aktienrenditen beobachtet werden. Mehrere Wissenschaftler haben den Beweis dafür gefunden, dass die Volatilität der Aktienrenditen bei schlechten Nachrichten (die Überrendite ist kleiner als erwartet) tendenziell steigt. Die Reaktion auf gute Nachrichten (die Überrendite ist größer als erwartet) ist hingegen ein Volatilitätsrückgang. Diese negative Korrelation der Renditen mit der bedingten Varianz wird als Leverage-Effekt bezeichnet. Die folgenden Abbildungen sollen einige der oben aufgeführten Merkmale demonstrieren. Sie beruhen auf eigenen Berechnungen mit den Programmen Excel und EViews . Abbildung 1 zeigt die täglichen Log-Renditen des russischen Aktienindexes RTS und die dazugehörigen quadrierten Renditen im Zeitraum zwischen 1997 und 2007. Die Log-Renditen deuten auf Heteroskedastie und Volatilitäts-Clustering hin (besonders Ende der neunziger Jahre), die bei der Betrachtung der quadrierten Residuen noch deutlicher werden.

• ARCH-Modell

• GARCH-Modell

• Bootstrap

• Verteilungsprognose

• Risikomanagement

• Rendite

• Value at risk

Marianna Jaskewitz, Jahrgang 1978, absolvierte das Studium der Rechtswissenschaften in der Ukraine (Kharkiv) im Jahre 2001 sowie das Studium der Wirtschaftswissenschaften in Deutschland (Ruhr-Universität Bochum) im Jahre 2008. Während des Studiums der Wirtschaftswissenschaften sammelte die Autorin praktische Erfahrungen in der Analyse der Finanzmärkte bei einer Großbank (Abteilung Credit Research) und bei einem Finanzdienstleister (Unterstützung der Fondsmanager bei der Aktienanalyse). Besonders interessiert sich die Autorin für die quantitative Analyse der Kapitalmärkte. In diesem Bereich schrieb sie auch ihre Diplomarbeit, auf welcher dieses Buch beruht.