Den Händlern auf Aktien- und Devisenmärkten stehen bei der Bewertung von Optionen unsichere zukünftige Zahlungsströme gegenüber, die eine grundlegende Fragestellung innerhalb der Finanzwirtschaft einnehmen. Die ersten Optionen wurden an der Chicago Board Options Exchange (CBOE) in den frühen siebziger Jahren gelistet. Zur Bewertung von europäischen Call- und Put-Optionen legen Fischer Black und Myron Scholes mit ihrem Modell im Jahre 1973 einen Meilenstein in der Finanzierungstheorie. An dieser Stelle ist auch auf die Mitwirkung von Robert C. Merton zu verweisen, der ebenfalls an der Ausarbeitung dieses Modells mitgewirkt hat, jedoch im selben Jahr eine eigenständige Publikation veröffentlichte. Aufgrund der relativ einfachen Gestaltung des Black-Scholes-Modells (BS), verbreitete sich ihre Anwendung zunehmend in der Theorie und Praxis. Seit der Einführung der ersten Optionen unterliegen die internationalen Finanz- und Kapitalmärkte einem starken Wandel, wobei in besonderen Maßen auf die Entwicklung der derivativen Hedgeinstrumente zu blicken ist. Durch die stetig wachsende Nachfrage der Unternehmen nach derivativen Instrumenten als Möglichkeit zur Risikoreduktion, wobei die Betrachtung unabhängig von den einzelnen Wirtschaftszweigen erfolgt, führen diese zu schnell wachsenden Anzahlen an verschiedenen derivativen Produkten. Dabei ist neben der Quantität der Produkte vor allem auf die Qualität abzustellen, die aufgrund ihrer zunehmenden komplexeren Struktur eine dementsprechend größere Herausforderung an die Bewertungsmodelle stellt. Das Optionspreismodell von Black-Scholes (Merton) zur Bewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen über dividendenlose Aktien beinhaltet Einschränkungen, die aus den Modellannahmen resultieren. Diese führen zu verzerrter Preisbildung der Optionen, die anhand von zahlreichen empirischen Untersuchungen beobachtet wurden und deren Fokus dabei im besonderen Maße auf die implizite Volatilität gerichtet ist. Gemäß der Optionspreistheorie soll der Parameter als Volatilitätsmaß für alle Basispreise identisch sein. Konkret bedeutet dies, dass alle Basispreise mit derselben Volatilität innerhalb der Black-Scholes-Formel bewertet werden. Diese Annahme ist seit dem Börsencrash von Oktober 1987 nicht mehr aufrecht zu erhalten, da das Phänomen des sog. Smile-Effektes auftrat, das den Sachverhalt bzw. Sichtweise bzgl. der konstanten Volatilität in Frage stellte. Der Volatility Smile gibt für ein und dasselbe Underlying verschiedene implizite Volatilitäten vor. Aus dieser Erkenntnis heraus entspricht die zukünftige Wahrscheinlichkeitsverteilung des Underlyings nicht einer logarithmierten Normalverteilung wie sie im Black-Scholes-Modell angenommen wird, sodass eine implizite Wahrscheinlichkeitsverteilung entwickelt wurde. Diese ist im Stande aus denen am Markt gehandelten Optionen mit einem bestimmten Fälligkeitszeitpunkt, Optionen marktkonform zu bewerten.

Textprobe: Kapitel 5, Implizite Volatilität und die Smile-Effekte: Die implizite Volatilität die im vorherigen Kapitel 4.3 behandelt wurde, stellt einen wichtigen Ausgangpunkt zur Darstellung von Volatility Smiles hinsichtlich Optionen dar. Bei Unterstellung eines effizienten Marktes und einem korrekten Optionspreismodell, ist die implizite Volatilität, die durch den Optionspreis ermittelt wurde, die beste durch den Markt bestimmende zukünftige Volatilität bzgl. einem zugrunde liegenden Asset innerhalb der Laufzeit einer Option. Dabei wird die implizite Volatilität durch das Black-Scholes-Modell ermittelt indem man den aktuellen Optionspreis, der am Markt bezahlt wird, mit allen anderen beeinflussenden Faktoren (Zinsen, Laufzeit, Preis des Underlyings und Ausübungspreis) nach der Volatilität auflöst. Durch mehrmaliges variieren des Parameters Volatilität gelangt man schließlich zum Optionspreis der am Markt gehandelt wird. Unter der Voraussetzung, dass die beeinflussenden Faktoren bekannt sind und sich auf die Verwendung des Black-Scholes-Modells geeinigt wird, besteht zwischen dem Optionspreis und der impliziten Volatilität eine eins-zu-eins Beziehung, sodass anstatt der Quotierung von Optionspreisen die implizite Volatilität gehandelt wird. Die quasi Übersetzung, der von Optionspreisen in die impliziten Volatilitäten ist für die Anwendung in der Praxis und für die empirische Analyse von Vorteil, da die impliziten Volatilitäten als Funktion von Basispreisen und Restlaufzeiten der Optionen geringer variiert, im Vergleich zu den Optionspreisen. Man kann die besonderen Charakteristiken der Bewertung, die das klassische Modell nicht imstande ist aufzuzeigen, anhand der impliziten Volatilitäten veranschaulicht werden. Im Hauptteil dieser Arbeit soll zunächst über die Gültigkeit des Black-Scholes-Modells diskutiert werden, bevor die implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Basispreis betrachtet wird. Im Fokus stehen dabei die Volatility Smiles für Currency-Options (Währungsoptionen) und Equity-Options (Aktien- und Indexoptionen), die sich in ihrer Charakteristik unterscheiden. Hier sind die Vergleiche zwischen den impliziten Verteilungen mit der Log-Normalverteilung hervorzuheben, da sie anhand von weit aus dem Geld liegenden Call-Optionen und weit aus dem Geld liegenden Put-Optionen eine Informationsgrundlage schaffen, die die Ausprägung des Smiles erklären können. Durch die Put-Call-Parität kann dies auch anhand von weit im Geld liegenden Call-und Put-Optionen betrachtet werden. Vor dem Hintergrund des Börsencrash im Oktober 1987 ist im Weiteren, die Begründung für die Smile-Effekte zu reflektieren. Hierbei unterscheiden sich die Herangehensweisen für Currency-Options und Equity-Options. Neben der impliziten Volatilität in Abhängigkeit vom Basispreis, wird zudem die Abhängigkeit bzgl. der Laufzeit einer Option betrachtet. Die Rede ist dabei von der Laufzeitstruktur der Volatilität die als Volatility Term Structure bezeichnet wird. Die Möglichkeit eine implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Basispreis und der Laufzeit zu modellieren, findet sich in dem Begriff des Volatilty Surfaces (Volatilitätsoberfläche), die zusammen mit der erwähnten Volatility Term Structure, die Volatilitätsstrukturen beschreiben. Gültigkeit des Black-Scholes-Modells: Unter dem zeitstetigen Optionspreismodell nach Black-Scholes, das die Optionsbewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen unter kontinuierlichen Handelsaspekten beschreibt, lassen sich zahlreiche Defizite formulieren. In erster Line sind die Kursverteilungsannahmen zu kritisieren. Diese lassen keine Kurssprünge zu, die allerdings in der Realität häufig auftreten. Dabei lassen sich unterschiedliche Sprünge charakterisieren die allgemein durch Sprung-Diffusionsmodelle berücksichtigt werden. Hierbei unterliegen die stetig geänderten Assetpreise einem Prozess, der z. B. nicht der Brownschen Bewegung entspricht. In dem Kontext sind weitere Möglichkeiten wie die der Preissprünge zu berücksichtigen, die zu einer Überlagerung der stetigen Assetpreisänderung führen sowie Kurssprünge, die alle Änderungen der Assetpreise darstellen können. Weiterhin unterliegen im Black-Scholes-Modell die Renditen des Basiswertes einer Normalverteilung. Diese Annahme ist aufgrund der empirischen Untersuchungen nicht länger vertretbar. Die Renditen unterliegen im Zeitablauf keiner Normalverteilung. Insbesondere bei Renditen innerhalb kurzer Zeitintervalle, z. B. Tagesrenditen, weisen diese neben einer Schiefe zudem eine spitzgipfligere Wölbung bzgl. der Verteilung auf. Unter der schmaleren und höheren Wahrscheinlichkeitsverteilung im Vergleich zur Normalverteilung, ergeben sich zudem schwerere Flanken bzw. Ränder, die auch als fat-tails bezeichnet werden. Liegen die beiden Eigenschaften schwerer Ränder und Spitzgipfligkeit vor, so spricht man von einer Verteilung die einen leptokurtischen Verlauf beinhaltet. Für extrem kleine und extrem große negative als auch positive Renditen, sind die Wahrscheinlichkeiten höher im Vergleich zu einer Normalverteilung. Insbesondere die höhere Wahrscheinlichkeit bei negativen Renditen, bildet eine Fehlerquelle bzgl. der Risikomessung und führt daher zur Unterschätzung des Risikos. Analog hierzu verhält sich der Aktienkurs, der einer Log-Normalverteilung unterliegt. Neben der rechtsschiefen Form weist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im Kontext impliziter Volatilität auch als implizite Verteilung bezeichnet wird, die gleichen Eigenschaften auf, die zur Leptokurtosis führen. Daher haben extreme Kursausschläge ebenfalls eine weitaus höhere Eintrittswahrscheinlichkeit im Vergleich zur Normalverteilung. Für längerfristige Betrachtungszeiträume nehmen allerdings die Schiefe und Leptokurtosis ab, sodass sie wiederum der Normalverteilung ähnelt. Das bedeutet, je länger die Zeitspannen zur Berechnung, beispielsweise der Rendite gewählt werden, umso leichter ist die implizite Verteilung durch eine Normalverteilung zu beschreiben. Anlass zur weiteren Kritik besteht bei Unabhängigkeit der Renditen. Entgegen der nicht nachweisbaren Autokorrelation innerhalb der Renditenzeitreihen, sind jedoch die betragsmäßigen und insbesondere bei den quadrierten Renditen, Autokorrelationen nachzuweisen. Die Schwankungen der Renditen zeigen im Zeitablauf ein gewisses Muster auf. So sind häufig Phasen mit geringen Kursschwankungen anzutreffen sowie Phasen in denen starke Kurausschläge beobachtet wurden. Diese festgestellten Muster bzw. Phänomene werden als Volatilitätsscluster bezeichnet. Die Volatilitätscluster können in soweit interpretiert werden, als dass die Standardabweichung der Renditen scheinbar von der Vergangenheit geprägt sind und somit eine Abhängigkeit besteht. Aus dieser Argumentation können demnach starke Kursausschläge zu weiteren großen Kursbewegungen führen bzw. diese nach sich ziehen. Ein weiteres Phänomen ist der divergierende Sachverhalt zwischen der Volatilität und dem Aktienkurs. Die Beziehung zwischen den Parameter und beinhaltet eine negative Korrelation der als Leverage-Effekt bezeichnet wird. Während bei steigendem Aktienkurs die Volatilität sinkt, ist beim absinken des Aktienkurses ein Anstieg der Volatilität zu beobachten. Ein möglicher Grund für diesen Hebeleffekt liegt im Rückgang des Ertrages eines Unternehmens, der i. d. R. durch Kursabfälle erzeugt werden kann. Ein weiterer Anlass zur Kritik ist auf die Sensitivität der Option gemünzt. In Bezug auf Optionen die am Geld liegen, lassen sich annähernd gute Ergebnisse erzielen. In Abhängigkeit von der Laufzeit der Option können beispielsweise bei kurzer Laufzeit höhere Werte ergeben die somit zu einer Überbewertung führen. Anders hingegen bei Optionen die tief im Geld bzw. weit aus dem Geld liegen, sodass diese Optionen unterbewertet werden. Die impliziten Volatilitäten für nicht am Geld liegenden Optionen, die durch die gehandelten Preise für Optionen anhand des Black-Scholes-Modells berechnet wurden, sind nicht mehr länger konstant. Sie führen zu unterschiedlichen impliziten Volatilitäten, da unterschiedliche Optionen bzgl. eines Basisinstruments am Markt gehandelt werden, die sich hinsichtlich ihrem Basispreis und Optionslaufzeit unterscheiden. Das Black-Scholes-Modell beinhaltet durch die Annahme konstanter Volatilität ein Widerspruch in sich selbst, da die impliziten Volatilitäten, die zum Phänomen der Smile-Effekt führen, durch das Modell selbst berechnet wurde.

• implizite Volatilität

• Black-Scholes

• Smile-Effekt

• Zustandspreisdichten

• Volatilitätsstrukturen

Zeljko Komazec, Diplom Ökonom, Studium der Wirtschaftswissenschaften an der Universität Duisburg-Essen in Duisburg. Abschluss 2009 als Diplom Ökonom.